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Description
Nous allons présenter dans ce cours des résultats récents et des problèmes ouverts concernant l’interaction entre la combinatoire algébrique, la théorie des représentations, et la théorie des fonctions symétriques. Les sujets abordés comprendront (entre autres);
- La combinatoire de Catalan triangulaire
- Partages triangulaires
- Chemins de Dyck triangulaires
- Fonctions de stationnement triangulaires
- Treillis de Tamari trinagulaires
- Conjectures shuffle
- Fonctions symétriques
- Bases et propriétés classiques
- Formules, produit scalaire, et applications
- Polynômes de Macdonald et opérateurs propres
- Algèbre de Hall elliptique
- Polynômes harmoniques diagonaux
- Résultats récents et problèmes ouverts
- Cas à plusieurs variables
Livre en cours de rédaction (disponible au fur et à mesure)
Outils Sage
Pour apprendre à utiliser les outils Sage concernant les polynômes/fonctions symétriques, voir ce tutoriel.
Texte auxiliaire (en anglais)
Symmetric Functions and Rectangular Catalan Combinatorics
Références pertinentes
- Algebraic Combinatorics and Coinvariant Spaces, CMS Treatise in Mathematics, CRC Press, 2009. 221 pages. (voir le site web de CRC Press) (voir La table des matières et l’introduction).
- Open Questions for Operators Related to Rectangular Catalan Combinatorics, to appear in Journal of Combinatorics (arXiv:1603.04476), accepted 2016.
- (avec E. Leven, A. Garsia, et G. Xin), Some remarkable new Plethystic Operators in the Theory of Macdonald Polynomials, (arXiv:1405.0316).
- (avec E. Leven, A. Garsia, et G. Xin), Compositional (km,kn)−Shuffle Conjectures, (arXiv:1404.4616).
- Multivariate Diagonal Coinvariant Spaces for Complex Reflection Groups, Advances in Mathematics, Volume 239 (2013) pp. 97-108. (arXiv:1105.4358)
- (avec M. Haiman) Tableaux Formulas for Macdonald Polynomials, Special edition in honour of Christophe Reutenauer 60 birthday, International Journal of Algebra and Computation, Volume 23, Issue 4, (2013), pp 833-852.
- (avec L.F. Préville-Ratelle) Higher Trivariate Diagonal Harmonics via generalized Tamari Posets, Journal of Combinatorics, Volume 3 (2012) Number 3, pp. 317-341. (arXiv:1105.3738)
- (avec A. M. Garsia et G. Tesler) Multiple Left Regular Representations Generated by Alternants, Journal of Combinatorial Theory Series A, vol. 91 (2000), 49–83.
- (avec A. M. Garsia, M. Haiman et G. Tesler) Identities and Positivity Conjectures for Some Remarkable Operators in the Theory of Symmetric Functions, Methods and Applications of Analysis, vol. 6, no. 3 (1999), 363–420.
- (avec A. M. Garsia) Science Fiction and Macdonald’s Polynomials, in Algebraic Methods and q-Special Functions, R.Floreanini, L.Vinet (eds.), CRM Proceedings & Lecture Notes, AMS, 1999, 1–52. (arXiv:math/9809128)
Références (autres)
- D. Armstrong and B. Rhoades, The Shi arrangement and the Ish arrangement,
Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), 1509-1528 - M.T.L. Bizley, Derivation of a New Formula for the Number of Lattice Paths from $(0,0)$ to $(km,kn)$ having just $t$ contacts with the line and a proof of Grossman’s formula for the number of paths which may touch but do not rise above this line, Journal of Institute of Actuaries, 80 (1954), 55-62.
- E. Carlsson and A. Mellit, A proof of the shuffle conjecture, arXiv:1508.06239.
- E. Gorsky et A. Negut, Refined knot invariants and Hilbert schemes, 2013, (arXiv:1304.3328).
- T. Hikita, Affine Springer fibers of type A and combinatorics of diagonal coinvariants, 2013, (arXiv:1203.5878)
- M. Haiman, Combinatorics, Symmetric Functions, And Hilbert Schemes, Current Developments in Mathematics
Volume 2002 (2002), 39-111. - Le livre de Jim Haglund: The q, t-Catalan Numbers and the Space of Diagonal Harmonics, with an Appendix on the Combinatorics of Macdonald Polynomials, University Lecture Series of the AMS, 2008.
- James Haglund, Jennifer Morse et Mike Zabrocki, A compositional shuffle conjecture specifying touch points of the Dyck path, (arXiv:1008.0828), 2010, 20 pages
- J. Haglund, M. Haiman, N. Loehr, J. B. Remmel et A. Ulyanov, A Combinatorial Formula for the Character of the Diagonal Coinvariants, (arXiv:math/0310424), (2003), 31 pages.
- M. Haiman, A. M. Garsia et G. Tesler, Explicit plethysic formulas for Macdonald q,t-Kostka coefficients, The Andrews Festschrift. Seminaire Lotharingien 42 (1999), electronic, 45pp.
- A. Mellit, Toric braids and (m,n)-parking functions, arXiv:1604.07456.
- H. Morton and P. Samuelson, The HOMFLYPT skein algebra of the torus and the elliptic Hall algebra, (2014). arXiv:1410.0859.