Mes recherches concernent diverses interactions entre structures algébriques (espaces de polynômes harmoniques, représentation de groupes de réflexions, etc.) et objets combinatoires (arbres, partitions d’entiers, permutations, structures énumérées par les nombres de Catalan, fonctions parking, etc.). Ces interactions donnent lieu à plusieurs identités intéressantes, souvent exprimées en termes de fonctions génératrices ou de fonction symétriques (fonctions de Schur, polynômes de Macdonald, etc.). Au centre de l’étude de ces structures se retrouve l’espace diagonal coinvariant (en plusieurs jeux de $n$-variables). En particulier, le cas de trois jeux de variables fait apparaître une $m$-variante du Treillis de Tamari (associaèdre).

Décomposition en intervalles du treillis de 2-Tamari avec $n=4$

Ces travaux font interagir la combinatoire, la théorie de la représentation, et la géométrie algébrique; avec des liens naturels avec la physique théorique et l’informatique théorique. J’utilise systématiquement des outils de calcul formel dans mes travaux de recherche.

Dernièrement, je collabore avec Adriano Garsia, Mark Haiman et autres sur l’étude d’aspects algébriques et combinatoires des fonctions de $(m,n)$-parking. Ceci est la continuation (avec plein de nouvelles surprises) d’une longue collaboration sur l’étude d’aspect combinatoires de l’étude des polynômes harmoniques diagonaux du groupe symétrique. Les opérateurs propres de Macdonald (c.-à-d.: ceux pour lesquels les polynômes de Macdonald sont des fonctions propres communes) fournissent des outils particulièrement efficaces pour l’étude d’identités concernant les polynômes de Macdonald. Parmi ces opérateurs, l’opérateur $\nabla$ (que j’ai introduit en 1994 puis étudié avec Adriano Garsia, Mark Haiman, et d’autres) joue un rôle particulièrement important.

En collaboration avec Nantel Bergeron, Adriano Garsia, et Christophe Reutenauer nous avons démarré dans les années 90 une étude approfondie de la structure des algèbres de descentes des groupes de Coxeter finis.

En collaboration avec les membres du Lacim (principalement avec Pierre Leroux et Gilbert Labelle), j’ai contribué dans les années 80-90 au développement original de la Théorie des espèces (introduite par André Joyal). Pour une introduction en français à la théorie des espèces, voir ce texte. Mes travaux avec Simon Plouffe ont aussi contribué à l’émergence d’outils comme GFUN (en Maple).

Pour d’autres aspects de mes recherches, voir mes citations sur MathSciNet ou selon Google Scholar, ou ma page de publications. J’ai aussi écrit des résumés plus techniques de certains aspects de mes recherches.