Polynômes harmoniques diagonaux trivariés

Soient $\mathbf{x}=x_1,x_2,\ldots,x_n$,  $\mathbf{y}=y_1,y_2,\ldots,y_n$ et $\mathbf{z}=z_1,z_2,\ldots,z_n$ trois jeux de $n$ variables. Les polynômes diagonaux trivariés sont les solutions, dans l’anneau $\mathbb{Q}[\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}],$ du système d’équations différentielles

$$\partial_{x_1}^a\partial_{y_1}^b\partial_{z_1}^c\,f(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})+\partial_{x_2}^a\partial_{y_2}^b\partial_{z_2}^c\,f(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})+\ldots+\partial_{x_n}^a\partial_{y_n}^b\partial_{z_n}^c\,f(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})=0,$$

avec une équation pour chaque triplet $a,$ $b$ and $c,$ tel que $a+b+c>0$. Il a été conjecturé par Mark Haiman que la dimension du $\mathbb{S}_n$-module engendré par ces polynômes est de dimension $2^n(n+1)^{n-2}$. Il y a une généralisation de ces modules, pour tout $m\in\mathbb{N},$  pour laquelle j’ai  conjecturé que la dimension totale est

$$(m+1)^n(mn+1)^{n-2},$$

tandis que la dimension de la composante alternée est

$${\frac{(m+1)}{n\,(mn+1)}\binom{(m+1)^2n+m}{n-1}}.$$

Pour $m=1$ la suite de ces derniers nombres débute ainsi:

$$1,\ 3,\ 13,\ 68,\ 399,\ 2530,\ 16965,\ 118668,\ 857956,\ 6369883\ \ldots$$

En consultant le « online encyclopedia of integer sequences », on trouve que Chapoton que ces nombres comptent les intervalles dans le treillis de Tamari. Ceci m’a amené à introduire la notion de treillis de $m$-Tamari, en espérant que la formule ci-dessus donne le nombre d’intervalles. Ceci a été démontré par Bousquet-Mélou, Fusy et Préville-Ratelle. On est aussi naturellement amené à penser que les intervalles décorés (par les fonctions parking) apparaissent comme objets déterminants dans ce contexte. J’ai alors trouvé un candidat explicite pour le caractère de l’action de $\mathbb{S}_n$ sur lesdits intervalles décorés. Ce fait a aussi établi (aussi par  Bousquet-Mélou, Chapuy et Préville-Ratelle), d’abord pour ce qui est de la dimension de l’espace résultant, puis pour le caractère. Reste cependant à montrer que tout cela est compatible (modulo torsion par le signe) avec le $\mathbb{S}_n$-module des polynômes harmoniques diagonaux trivariés, comme le suggère les calculs expérimentaux. Par exemple, la dimension trigraduée de la composante alternante de cet espace est

$$tr+qr+qt+{r}^{3}+t{r}^{2}+{t}^{2}r+{t}^{3}+q{r}^{2}+qtr+q{t}^{2}+{q}^{2}r+{q}^{2}t+{q}^{3}$$

lorsque $n=3$ and $m=1$.

Tout cette problématique se transpose aussi à l’étude des polynômes harmorniques diagonaux multivariés. 

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