Algèbre de descentes

Cette histoire débute avec l’article de Louis Solomon

dans lequel il prouve que l’espace vectoriel engendré par les sommes

$$y_T:=\sum_{{\mathrm{Des}}(w)=T}\ w,\qquad {\rm with}\qquad T\subseteq S,$$

forme une sous-algèbre de l’algèbre de groupe d’un groupe de Coxeter $W,$ ayant comme générateurs l’ensemble $S$. Ici, ${\mathrm{Des}}(w)$ dénote l’ensemble de descentes de $w\in W,$ ce qui signifie que

 ${\mathrm{Des}}(w):=\big\{s\in S\ \big|\ \ell(w\,s)<\ell(w) \big\}.$

Il est habituel de dénoter par $\ell(w)$ la longueur d’une expression réduite (minimale) pour $w,$ exprimé comme produit d’éléments de $S.$ L’algèbre ainsi obtenue joue un rôle dans plusieurs contextes intéressants. Dans un appendice à l’article de Solomon, Jacques Tits donne un interprétation géométrique aux résultats de Solomon.

Une algèbre intimement reliée est l’algèbre de mélange. Elle est obtenue en applicant l’anti-endomorphisme de l’algèbre de groupe qui étend l’inversion. Les propriétés de cette dernière algèbre ont été exploitées par Persi Diaconis dans son étude du mélange de cartes.

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