Modules de Garsia-Haiman

A chaque partage $\mu$ de $n,$ on associe la matrice

$${\Big(x_i^a\,y_i^b\Big)_{1\leq i\leq j,\ (a,b)\in\mu}}.$$

Pour ce faire, on considère $\mu$ comme un diagramme de Ferrers (un sous-ensemble $\mathbb{N}\times \mathbb{N},$ avec la convention francophone), et $(i,j)\in\mu$ signifie que la cellule $(i,j)$ apparaît dans $\mu$. Ainsi, l’ensemble des cellules du partage $32$ est

$\{(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1)\}.$

Le $\mathbb{S}_n$-module $M_\mu$ est le plus petit espace vectoriel sur $\mathbb{Q}$ qui contient le déterminant $\Delta_\mu$ de la matrice ci-dessus,et qui est fermé par dérivation pour chacune des variables $x_i$ et $y_j,$ avec $1\leq i,j\leq n$. La dimension de ce module est $n!$. Le groupe symétrique $\mathbb{S}_n$ agit sur cet espace par permutation des indices de chacun des jeux de variables. On dit que c’est l’action diagonale. L’espace $M_\mu$ est un sous-module de l’espace des polynômes harmoniques diagonaux pour $\mathbb{S}_n,$ dont la dimension est $(n+1)^{n-1}$.

La caractéristique de Frobenius bigraduée du module de Garsia-Haiman module $M_\mu$ est égale au polynôme de Macdonald combinatoire $H_\mu$. Ceci signifie que la multiplicité d’une représentation irréductible (de $\mathbb{S}_n$) correspondant à un partage $\nu$, dans la composante homogène de bidegré $(i,j)$ de $M_\mu,$ est égale au coefficient de $q^it^j\,S_\nu$ dans $H_\mu$. Ainsi, pour $\mu=21,$ le module en question admet comme base l’ensemble

$$\{\Delta_{21},\ \partial_{x_1}\Delta_{21},\ \partial_{x_2}\Delta_{21},\ \partial_{y_1}\Delta_{21},\ \partial_{y_2}\Delta_{21},\ 1\}$$

où $\Delta_{21}=x_{{1}}y_{{2}}-x_{{1}}y_{{3}}-x_{{2}}y_{{1}}+x_{{2}}y_{{3}}+x_{{3}}y_{{1}}-x_{{3}}y_{{2}}$.

Pour en savoir plus, en particulier sur des généralisations, voir