Les polynômes de Macdonald combinatoires $H_\mu(\mathbf{x};q,t),$ pour $\mu$ un partage de $n,$ sont des fonctions (polynômes en un nombre dénombrable de variables) symétriques en les variables $\mathbf{x}=x_1,x_2,\ldots$, avec coefficients dans le corps de fractions $\mathbb{Q}(q,t)$. Leur développement en terme des fonctions de Schur ont comme coefficients des polynômes dans $\mathbb{N}[q,t],$ ainsi,
$$H_\mu(\mathbf{x};q,t) = \sum_{\nu\vdash n} k_{\mu\nu}(q,t)\, s_\nu(\mathbf{x}),$$
avec $k_{\mu\nu}(q,t)\in\mathbb{N}[q,t]$. En $q=t=1,$ ils se spécialisent à $s_1(\mathbf{x})^n.$ Par exemple,
$H_{{3}}(\mathbf{x};q,t)=s_{{3}}(\mathbf{x})+ \left( q+{q}^{2} \right) s_{{21}}(\mathbf{x})+{q}^{3}s_{{111}}(\mathbf{x})$
$H_{{21}}(\mathbf{x};q,t)=s_{{3}}(\mathbf{x})+ \left( t+q \right) s_{{21}}(\mathbf{x})+qt\,s_{{111}}(\mathbf{x})$
$H_{{111}}(\mathbf{x};q,t)=s_{{3}}(\mathbf{x})+ \left( t+{t}^{2} \right) s_{{21}}(\mathbf{x})+{t}^{3}s_{{111}}(\mathbf{x})$
Plusieurs opérateurs intéressants sont liés à l’étude de ces polynômes, en particulier l’opérateur $\nabla.$
Les polynômes de Macdonald combinatoires $H_\mu(\mathbf{x};q,t)$ apparaissent comme caractéristiques de Frobenius bigraduée des modules de Garsia-Haiman $M_\mu$. Cela signifie que le coefficient de $q^i\,t^j$ dans $k_{\mu\nu}(q,t)$ donne la multiplicité de la représentation irréductible de $\mathbb{S}_n$ correspondant au partage $\nu,$ dans la composante homogène de bidegré $(i,j)$ de $M_\mu$. Le $\mathbb{S}_n$-module $M_\mu$ est un sous-espace (bi-)homogène de l’anneau des polynômes en deux jeux de $n$ variables.
Pour en savoir plus sur les polynômes de Macdonald
- Mon livre: Algebraic Combinatorics and Coinvariant Spaces, CMS Treatise in Mathematics, CRC Press, 2009. 221 pages. (voir la Table des matières et l’introduction).
- Le livre de Jim Haglund: The q, t-Catalan Numbers and the Space of Diagonal Harmonics, with an Appendix on the Combinatorics of Macdonald Polynomials, University Lecture Series of the AMS, 2008.
- Le rapport du: Workshop on Applications of Macdonald Polynomials, BIRS 2007.
- Workshop: Combinatorial Hopf Algebras and Macdonald Polynomials, CRM 2007.
- A list of papers on Macdonald Polynomials (1995-2005).
- Workshop on Jack, Hall-Littlewood and Macdonald Polynomials, ICMS 2003.
- Algebraic Methods and q-Special Functions – Jan Felipe van Diejen, Universidad de Chile, and Luc Vinet, Université de Montréal, Editors – AMS | CRM, 1999, 276 pages.
- Le site d’Adriano Garsia: Macdonald Polynomials and The n! Homepage.
- Le site de Mike Zabrocki: Macdonald Polynomials.