Polynômes de Macdonald

Les polynômes de Macdonald combinatoires $H_\mu(\mathbf{x};q,t),$ pour $\mu$ un partage de $n,$ sont des fonctions (polynômes en un nombre dénombrable de variables) symétriques en les variables $\mathbf{x}=x_1,x_2,\ldots$, avec coefficients dans le corps de fractions $\mathbb{Q}(q,t)$. Leur développement en terme des  fonctions de Schur ont comme coefficients des polynômes dans $\mathbb{N}[q,t],$ ainsi,

$$H_\mu(\mathbf{x};q,t) = \sum_{\nu\vdash n} k_{\mu\nu}(q,t)\, s_\nu(\mathbf{x}),$$

avec $k_{\mu\nu}(q,t)\in\mathbb{N}[q,t]$. En $q=t=1,$ ils se spécialisent à $s_1(\mathbf{x})^n.$ Par exemple,

$H_{{3}}(\mathbf{x};q,t)=s_{{3}}(\mathbf{x})+ \left( q+{q}^{2} \right) s_{{21}}(\mathbf{x})+{q}^{3}s_{{111}}(\mathbf{x})$
$H_{{21}}(\mathbf{x};q,t)=s_{{3}}(\mathbf{x})+ \left( t+q \right) s_{{21}}(\mathbf{x})+qt\,s_{{111}}(\mathbf{x})$
$H_{{111}}(\mathbf{x};q,t)=s_{{3}}(\mathbf{x})+ \left( t+{t}^{2} \right) s_{{21}}(\mathbf{x})+{t}^{3}s_{{111}}(\mathbf{x})$

Plusieurs opérateurs intéressants sont liés à l’étude de ces polynômes, en particulier l’opérateur $\nabla.$

Les polynômes de Macdonald combinatoires $H_\mu(\mathbf{x};q,t)$ apparaissent comme caractéristiques de Frobenius bigraduée des  modules de Garsia-Haiman $M_\mu$. Cela signifie que le coefficient de $q^i\,t^j$ dans $k_{\mu\nu}(q,t)$ donne la multiplicité de la représentation irréductible de $\mathbb{S}_n$ correspondant au partage $\nu,$ dans la composante homogène de bidegré $(i,j)$ de $M_\mu$. Le $\mathbb{S}_n$-module $M_\mu$ est un sous-espace (bi-)homogène de l’anneau des polynômes en deux jeux de $n$ variables.

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