Cours: Recherche en combinatoire et algèbre

Voir le Syllabus

Description

Nous allons présenter dans ce cours des résultats récents et des problèmes ouverts concernant l’interaction entre la combinatoire algébrique, la théorie des représentations, et la théorie des fonctions symétriques. Les sujets abordés comprendront (entre autres);

  • La combinatoire de Catalan rationnelle
    • Chemins de $(m,n)$-Dyck
    • Fonctions de $(m,n)$-stationnement
    • Conjectures shuffle
  • Fonctions symétriques
    • Bases et propriétés classiques
    • Formules, produit scalaire, et applications
    • Polynômes de Macdonald et opérateurs propres
    • Algèbre de Hall elliptique
  • Polynômes harmoniques diagonaux
    • Résultats récents et problèmes ouverts
    • Cas à plusieurs variables

Outils Sage

Pour apprendre à utiliser les outils Sage concernant les polynômes/fonctions symétriques, voir ce tutoriel.

Texte auxiliaire (en anglais)

Symmetric Functions and Rectangular Catalan Combinatorics

Références pertinentes

  • Algebraic Combinatorics and Coinvariant SpacesCMS Treatise in Mathematics,  CRC Press, 2009. 221 pages. (voir le site web de CRC Press) (voir  La table des matières et l’introduction).
  • Open Questions for Operators Related to Rectangular Catalan Combinatorics, to appear in Journal of Combinatorics (arXiv:1603.04476), accepted 2016.
  • (avec E. LevenA. Garsia, et G. Xin)Some remarkable new Plethystic Operators in the Theory of Macdonald Polynomials, (arXiv:1405.0316).
  • (avec E. LevenA. Garsia, et G. Xin)Compositional (km,kn)Shuffle Conjectures, (arXiv:1404.4616).
  • Multivariate Diagonal Coinvariant Spaces for Complex Reflection Groups, Advances in Mathematics, Volume 239 (2013) pp. 97-108. (arXiv:1105.4358)
  • (avec M. HaimanTableaux Formulas for Macdonald Polynomials, Special edition in honour of Christophe Reutenauer 60 birthday, International Journal of Algebra and Computation, Volume 23, Issue 4, (2013), pp 833-852.
  • (avec L.F. Préville-RatelleHigher Trivariate Diagonal Harmonics via generalized Tamari Posets, Journal of Combinatorics, Volume 3 (2012) Number 3, pp. 317-341. (arXiv:1105.3738)
  • (avec A. M. Garsia et G. TeslerMultiple Left Regular Representations Generated by Alternants, Journal of Combinatorial Theory Series A, vol. 91 (2000), 49–83.
  • (avec A. M. GarsiaM. Haiman et G. Tesler Identities and Positivity Conjectures for Some Remarkable Operators in the Theory of Symmetric Functions, Methods and Applications of Analysis, vol. 6, no. 3 (1999), 363–420.
  • (avec A. M. GarsiaScience Fiction and Macdonald’s Polynomials, in Algebraic Methods and q-Special Functions, R.Floreanini, L.Vinet (eds.), CRM Proceedings & Lecture Notes, AMS, 1999, 1–52. (arXiv:math/9809128)

Références (autres)