Cours: Recherche en Combinatoire et Algèbre

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Description

Ce cours se veut une préparation à l’école (12-16 juin) et à l’atelier (19-23 juin) Combinatoire équivariante du semestre thématique Algèbre et mots en combinatoire. Nous allons présenter dans ce cours des résultats récents et des problèmes ouverts concernant l’interaction entre la combinatoire algébrique, la théorie des représentations, la théorie des fonctions symétriques, ainsi que des liens avec la théorie des $(m,n)$-noeuds sur le tore. Pour plus de détails et des résumés de certaines de ces problématiques, voir mes pages Conjecture Shuffle et Résumés.  Les sujets abordés comprendront (entre autres);

  • La combinatoire de Catalan rationnelle
    • Chemins de $(m,n)$-Dyck
    • Fonctions de $(m,n)$-stationnement
    • Conjectures shuffle
  • Fonctions symétriques
    • Bases et propriétés classiques
    • Formules, produit scalaire, et applications
    • Polynômes de Macdonald et opérateurs propres
    • Algèbre de Hall elliptique
  • Polynômes harmoniques diagonaux
    • Résultats récents et problèmes ouverts
    • Cas à plusieurs variables
  • Liens avec la théorie des $(m,n)$-noeuds toriques

Références pertinentes (où je suis co-auteur)

  • Algebraic Combinatorics and Coinvariant SpacesCMS Treatise in Mathematics,  CRC Press, 2009. 221 pages. (voir le site web de CRC Press) (voir  La table des matières et l’introduction).
  • Open Questions for Operators Related to Rectangular Catalan Combinatorics, to appear in Journal of Combinatorics (arXiv:1603.04476), accepted 2016.
  • (avec E. LevenA. Garsia, et G. Xin)Some remarkable new Plethystic Operators in the Theory of Macdonald Polynomials, (arXiv:1405.0316).
  • (avec E. LevenA. Garsia, et G. Xin)Compositional (km,kn)Shuffle Conjectures, (arXiv:1404.4616).
  • Multivariate Diagonal Coinvariant Spaces for Complex Reflection Groups, Advances in Mathematics, Volume 239 (2013) pp. 97-108. (arXiv:1105.4358)
  • (avec M. HaimanTableaux Formulas for Macdonald Polynomials, Special edition in honour of Christophe Reutenauer 60 birthday, International Journal of Algebra and Computation, Volume 23, Issue 4, (2013), pp 833-852.
  • (avec L.F. Préville-RatelleHigher Trivariate Diagonal Harmonics via generalized Tamari Posets, Journal of Combinatorics, Volume 3 (2012) Number 3, pp. 317-341. (arXiv:1105.3738)
  • (avec A. M. Garsia et G. TeslerMultiple Left Regular Representations Generated by Alternants, Journal of Combinatorial Theory Series A, vol. 91 (2000), 49–83.
  • (avec A. M. GarsiaM. Haiman et G. Tesler Identities and Positivity Conjectures for Some Remarkable Operators in the Theory of Symmetric Functions, Methods and Applications of Analysis, vol. 6, no. 3 (1999), 363–420.
  • (avec A. M. GarsiaScience Fiction and Macdonald’s Polynomials, in Algebraic Methods and q-Special Functions, R.Floreanini, L.Vinet (eds.), CRM Proceedings & Lecture Notes, AMS, 1999, 1–52. (arXiv:math/9809128)

Références (autres)