Polynômes Harmoniques Diagonaux

Soit $\mathbf{x}=x_1,x_2,\ldots,x_n$ et $\mathbf{y}=y_1,y_2,\ldots,y_n$ deux jeux de $n$ variables. Les polynômes harmoniques diagonaux sont les solutions, dans l’anneau de polynômes $\mathbb{Q}[\mathbf{x},\mathbf{y}],$ du système d’équations aux dérivées partielles

$$\partial_{x_1}^a\partial_{y_1}^b\,f(\mathbf{x},\mathbf{y})+\partial_{x_2}^a\partial_{y_2}^b\,f(\mathbf{x},\mathbf{y})+\ldots+\partial_{x_n}^a\partial_{y_n}^b\,f(\mathbf{x},\mathbf{y})=0,$$

avec une équation pour chaque paire d’entiers $a$ et $b,$ telle que $a+b>0$. Il a été démontré par Haiman que l’espace linéaire engendré par ces polynômes est de dimension $(n+1)^{n-1}$. La caractéristique de Frobenius bigraduée du $\mathbb{S}_n$-module résultant (pour l’action diagonale) est égale à $\nabla(e_n)$ (Voir la page sur l’opérateur $\nabla.$). Il vaut aussi la peine de souligner que l’énumération bigardué de la composante alternée de cet espace donne les fameux polynômes de $q,t$-Catalan.

Tout ceci se généralise directement au cas de $k$ jeux de variables. À cette fin, on considère une matrice $X=(x_{ij})$ de variables, de forme $k\times n$. Le groupe symétrique $\mathbb{S}_n$ (considéré comme groupe de matrices $n\times n$) agit sur ces variables par multiplication matricielle sur la droite, tandis que le groupe général linéaire $GL_k$ agit par multiplication sur la gauche. Le module des polynômes harmoniques diagonaux est stable pour l’action des deux groupes étendues aux polynômes en les variables $X$. Puisque ces deux actions commutent, on peux décomposer le dit module en irréductibles communs. Tout ceci se code sous la forme universelle

$$\mathcal{D}_{n}(\mathbf{q};\mathbf{z})=\sum_{\mu\vdash n}\sum_\nu a_{\mu\nu} s_\nu(\mathbf{q})\,S_\mu(\mathbf{z}),$$

avec $\mathbf{q}=q_1,q_2,\ldots,q_k$ et $a_{\mu\nu}\in\mathbb{N}$ indépendant de $k$. Ci-dessus, la fonction de Schur $s_\nu(\mathbf{q})$ code les irréductibles selon $GL_k$, tandis que les $S_\mu(\mathbf{z})$ codes les irréductibles pour $\mathbb{S}_n$.

Pour de petites valeurs de $n,$ on a les décompositions suivantes

$\mathcal{D}_{1}(\mathbf{q};\mathbf{z})=S_{1}(\mathbf{z})$
$\mathcal{D}_{2}(\mathbf{q};\mathbf{z})=S_{2}(\mathbf{z})+s_{1}(\mathbf{q})\,S_{11}(\mathbf{z})$
$\mathcal{D}_{3}(\mathbf{q};\mathbf{z})=S_{3}(\mathbf{z})+(s_{1}(\mathbf{q})+s_{2}(\mathbf{q}))\,\,S_{21}(\mathbf{z})+(s_{3}(\mathbf{q})+s_{11}(\mathbf{q}))\,\,S_{111}(\mathbf{z})$

Ces modules admettent des versions supérieures, indexées par $m\in\mathbb{N},$ qui sont dénotées par $\mathcal{D}_n^m$. Lorsque $k=1$ les modules résultants ont dimension $n!$. Lorsque $k=2,$ il a été montré par Haiman qu’ils ont dimension $(mn+1)^{n-1};$ et j’ai conjecturé que leur dimension est $(m+1)^n(mn+1)^{n-2}$ quand $k=3.$ Bien entendu, ont a des formules de caractère universel correspondantes. Par exemple,

$\mathcal{D}_{3}^2(\mathbf{q};\mathbf{z})=(s_{3}(\mathbf{q})+s_{11}(\mathbf{q}))\,\,S_{3}(\mathbf{z})$
$\qquad\qquad+(s_{4}(\mathbf{q})+s_{5}(\mathbf{q})+s_{21}(\mathbf{q})+s_{31}(\mathbf{q}))\,\,S_{21}(\mathbf{z})$
$\qquad\qquad+(s_{22}(\mathbf{q})+s_{41}(\mathbf{q})+s_{6}(\mathbf{q}))\,\,S_{111}(\mathbf{z})$

Ces espaces ont d’abord été introduit (en 2 jeux de variables) dans le cadre de l’étude des modules de Garsia-Haiman, eux-mêmes introduits pour comprendre la positivité de coefficients des polynômes de Macdonald.

Pour plus de détails, voir