Polynômes de $(q,t)$-Catalan

Dyck

Les polynômes de $q,t$-Catalan $C_n(q,t)$ sont dans $\mathbb{N}[q,t].$ Ils se spécialisent en les nombres de Catalan classiques à $q=t=1$. On obtient aussi les deux $q$-analogues usuels des nombres de Catalan, via une spécialisation adéquate de $t$. Plus précisément, en posant $t=1$ on obtient le $q$-polynôme $C_n(q):=C_n(q,1)$ qui satisfait à la récurrence

$$C_{n+1}(q)=\sum_{k=0}^{n} q^k\,C_k(q)\,C_{n-k}(q),$$

tandis que l’autre $q$-analogue est obtenu comme

$$q^{\binom{n}{2}}\,C_n(q,1/q) = \frac{1}{[n+1]_q} \genfrac{[}{]}{0pt}{}{2\,n}{n}_q$$

où le membre de droite est exprimé en terme de la notation usuelle pour les $q$-analogues.

Pour $n$ petit, on a

$C_{{1}} ( q,t ) =1$
$C_{{2}} ( q,t ) =t+q$
$C_{{3}} ( q,t ) =qt+{t}^{3}+q{t}^{2}+{q}^{2}t+{q}^{3}$
$C_{{4}} ( q,t ) =q{t}^{3}+{q}^{2}{t}^{2}+{q}^{3}t+q{t}^{4}+{q}^{2}{t}^{3}+{q}^{3}{t}^{2}+{q}^{4}t\\ \qquad+{t}^{6}+q{t}^{5}+{q}^{2}{t}^{4}+{q}^{3}{t}^{3}+{q}^{4}{t}^{2}+{q}^{5}t+{q}^{6}$

Autres exemples ici.

Les polynômes de $q,t$-Catalan apparaissent comme énumérateurs bigradués de la composante alternée du $\mathbb{S}_n$-module des polynômes harmoniques diagonaux (voir la page sur l’opérateur $\nabla)$.

On peut étendre tout cela à l’étude de polynômes qui se spécialisent aux nombres de $(a,b)$-Catalan, énumérant les chemins qui restent au dessus de la diagonale dans le rectangle $a\times b$.