Opérateur Nabla: $\nabla$

J’ai introduit l’opérateur $\nabla$ sur les fonctions symétriques en 1994 (voir cette lettre à A. Garsia), pour ensuite l’étudier avec Adriano Garsia pendant quelques années, avant de lui donner naissance de façon officielle dans un article avec Garsia: Science Fiction and Macdonald’s Polynomials, in Algebraic Methods and q-Special Functions, R.Floreanini, L.Vinet (eds.), CRM Proceedings & Lecture Notes, AMS, 1999, 1–52. En terme des polynômes de Macdonald combinatoires $H_\mu(\mathbf{x};q,t),$ l’opérateur $\nabla$ est simplement défini par le fait que

$$\nabla H_\mu(\mathbf{x};q,t) = q^{n(\mu’)}t^{n*\mu)} H_\mu(\mathbf{x};q,t)$$

où $n(\mu):=\sum_i (i-1)\mu_i$, et $\mu$ varie dans l’ensemble des partages de $n$. Parmi les nombreuses applications de cet opérateur, on remarque le fait qu’on peut exprimer simplement comme $\nabla(e_(\mathbf{x})),$ la transformée de Frobenius du caractère bigradué du $\mathbb{S}_n$-module des polynômes harmoniques diagonaux. Par exemple,

$$\nabla(e_3(\mathbf{x})) = s_3(\mathbf{x})+ \left( {q}^{2}+qt+{t}^{2}+q+t \right) s_{{21}}(\mathbf{x})\\ \qquad\qquad\qquad + \left( {q}^{3}+{q}^{2}t+q{t}^{2}+{t}^{3}+qt \right) s_{{111}}(\mathbf{x})$$

Le coefficient de $e_n(\mathbf{x})=s_{11\cdots1}(\mathbf{x})$ dans $\nabla(e_3(\mathbf{x}))$ est le fameux polynôme de $q,t$-Catalan. Plusieurs autres opérateurs importants se définissent de façon analogue.

Avec Haiman,  Garsia, and  Tesler, nous avons d’intéressantes conjectures concernant la Schur-positivité de $\nabla(s_\mu).$ qui sont énoncées dans  Identities and Positivity Conjectures for Some Remarkable Operators in the Theory of Symmetric Functions, Methods and Applications of Analysis, vol. 6, no. 3 (1999), 363–420.

Quelques articles dans lesquels il joue un rôle significatif

  • Sh. Shakirov, Colored knot amplitudes and Hall-Littlewood polynomials, (arXiv:1308.38382013, 20 pages.
  • Y. Kim, A Parking Function Setting for Nabla Images of Schur FunctionsDMTCS proc. AS2013, 1035–1046
  • O. Blondeau-Fournier, L. Lapointe et P. Mathieu, Double Macdonald polynomials as the stable limit of Macdonald superpolynomials, (arXiv:1211.3186), 2012, 40 pages.
  • K. Lee, L. Li et N. Loehr, Limits of Modified Higher $(q,t)$-Catalan Numbers, (arXiv:1110.5850), 2011.
  • James Haglund, Jennifer Morse et Mike Zabrocki, A compositional shuffle conjecture specifying touch points of the Dyck path, (arXiv:1008.0828), 2010, 20 pages
  • D. Armstrong, Hyperplane Arrangements and Diagonal Harmonics, (arXiv:1005.1949), 2010, 27 pages.
  • N. Bergeron, F. Descouens et M. Zabrocki, A generalization of $(q,t)$-Catalan and nabla operators, DMTCS proc. AJ, 2008, 513–528.
  • N. Loehr et G. Warrington, Nested Quantum Dyck Paths and  $\nabla(s_\lambda)$ International Mathematics Research Notices, Vol. 2008, Article ID rnm157, 29 pages. (arXiv:0705.4608)
  • M. Can et N. Loehr, A proof of the $q,t$-square conjecture, Journal of Combinatorial Theory, Series A, Vol. 113, Issue 7 (2006), 1419-1434.
  • N. Loehr, Combinatorics of $q,t$-parking functions, Advances in Applied Mathematics 34 (2005) 408–425.
  • J. Haglund, M. Haiman, N. Loehr, J. B. Remmel et A. Ulyanov, A Combinatorial Formula for the Character of the Diagonal Coinvariants, (arXiv:math/0310424), (2003), 31 pages.
  • C. Lenart, Lagrange Inversion and Schur Functions, Journal of Algebraic Combinatorics, Vol. 11, No 1 (2000).
  • (avec M. Haiman, A. M. Garsia, et G. Tesler) Identities and Positivity Conjectures for some remarkable Operators in the Theory of Symmetric FunctionsMethods and Applications of Analysis 6, No. 3 (1999), 363-420.
  • M. Haiman, A. M. Garsia et G. Tesler, Explicit plethysic formulas for Macdonald $q,t$-Kostka coefficients, The Andrews Festschrift. Seminaire Lotharingien 42 (1999), electronic, 45pp.