Conjectures « Shuffle »

Dyck

La conjecture « Shuffle » (due à HHLRU, 2003) fournie une formule combinatoire explicite pour la transformée de Frobenius du caractère bigradué, $\mathcal{D}_n^m(\mathbf{x};q,t),$ du $\mathbb{S}_n$-module des polynômes harmoniques diagonaux (supérieurs). Elle s’énonce en terme des fonctions parking sur les chemins de $(mn,n)$-Dyck, avec deux statistiques: l’aire et le dinv. En général, les chemins de $(k,n)$-Dyck sont constitués de pas nord et de pas est, allant de $(0,0)$ à $(k,n)$ dans le rectangle $(k\times n)$, tout en demeurant au dessus de la diagonale $y=nx/k.$ Ces chemins peuvent revenir à la diagonale, mais seulement lorsque $k$ et $n$ ne sont pas relativement premiers.

Dyck

Une fonction parking $\pi,$ sur un chemin $(k,n)$-Dyck $\gamma$,est simplement un étiquetage bijectif des $n$ pas nord de $\gamma$ par les nombres de l’ensemble $\{1,2,\ldots,n\}$. On écrit alors $\lambda(\gamma)=\pi$.

L’aire $\mathrm{area}(\pi)$, dun chemin $\pi,$ est le nombre de carrés (complets) se situant entre ce chemin et la diagonale. La description de la statistique dinv (omise) est plus complexe (voir ici). On associe aussi une composition $\mathrm{co}(\pi)$ of $n$, à toute fonction parking $\pi$. le calcul de cette composition dépend de $(k,n)$. Dans le cas $k=mn,$ on peut trouver ces définitions dans Haglund. Le cas plus général, quand  $(k,n)$ sont copremiers, se trouve entre autres dans l’article de Hikita. Le dernier ingrédient de la formule consiste à faire appel aux fonctions de Schur indexées par des compositions, définies en exploitant un analogue de la formule de Jacobi-Trudi:

$$S_\alpha(\mathbf{x}):=\mathrm{det}\ \left(h_{\alpha_i+j-i}(\mathbf{x})\right)_{i,j}.$$

La valeur de ce déterminant est soit $0$ ou $\pm S_\lambda(\mathbf{x}),$ pour un certain partage $\lambda$. Il maintenant d’usage courant d’utiliser les notations de Macdonald pour les fonctions symétriques. Ainsi $h_j(\mathbf{x})$ dénote la fonction symétrique homogène complète.

La conjecture « Shuffle »  (HHLRU, 2003)

Pour tout entiers $m$ et $n$,

$$\displaystyle\mathcal{D}_n^m(\mathbf{x};q,t)= \sum_{\pi=\lambda(\gamma)}t^{\mathrm{area}(\pi)}q^{\mathrm{dinv}(\pi)}\,S_{\mathrm{co}(\pi)}(\mathbf{x}),$$

où $\gamma$ varie dans l’ensemble des chemins de $(mn,n)$-Dyck.

N. Bergeron (l’autre), Descouens and Zabrocki (2010) ont montrés que la caractéristique de Frobenius de l’espace des polynômes harmoniques diagonaux admet une filtration naturelle selon le nombre de retours à la diagonale dans les chemins de Dyck. Cette filtration s’exprime via l’application de l’opérateur $\nabla$ sur une certaine fonction symétrique. Inspirés par ceci, Haglund, Morse and Zabrocki ont proposés un raffinement de la conjecture « Shuffle »  (la conjecture HMZ). Celle-ci s’exprime en terme d’opérateurs $C_\alpha=C_{a_1}C_{a_2}\cdots C_{a_\ell}$ sur les fonctions symétriques, où les $C_j$ s’obtiennent par une légère modification des opérateur vertex de Hall-Littlewood, et où $\alpha=(a_1,a_2,\ldots,a_\ell)$ une composition of $n$. Elle prend la forme explicite suivante.

HMZ Conjecture (2012)

Pour toute composition $\alpha$ de $n,$

$$\displaystyle\nabla^m\ C_\alpha\cdot 1=\sum_{\mathrm{ret}(\pi)=\alpha}t^{\mathrm{area}(\pi)}q^{\mathrm{dinv}(\pi)}\,S_{\mathrm{co}(\pi)}(\mathbf{x}),$$

où $\mathrm{ret}(\pi)$ est la composition qui indique les positions de retour à la diagonale du chemin sous-jacent à $\pi$. Ce chemin étant un chemin de $(mn,n)$.

Dans le membre de gauche, on dénote par $C_\alpha\cdot 1$ l’application de l’opérateur à la fonction symétriqe $1$. La conjecture « Shuffle » originale découle de cette nouvelle conjecture, étant donné que $\sum_\alpha C_\alpha\cdot 1=e_n,$ et que $\nabla^m(e_n)=\mathcal{D}_n^m$.

Dans une autre direction, Gorsky et Negut ont récemment développé des opérateurs $P_{k,n}$ sur les fonctions symétriques, pour lesquels ils proposent la conjecture suivante.

Conjecture « Shuffle » rationnelle (2013)

Pour $k$ et $n$ premiers entre eux, on a

$$\displaystyle P_{k,n}\cdot 1=\sum_{\pi=\lambda(\gamma)}t^{\mathrm{area}(\pi)}q^{\mathrm{dinv}(\pi)}\,S_{\mathrm{co}(\pi)}(\mathbf{x}),$$

où $\gamma$ parcours l’ensemble des chemins de $(k,n)$-Dyck.

Bien qu’on puisse définir les opérateurs $P_{k,n}$ pour tout couple $(k,n),$ sans condition de coprimalité, ceux-ci ne sont pas les « bons » (ni d’autres considérés par Gorsky-Negut)si l’on cherche à généraliser leur conjecture. En collaboration avec Adriano Garsia et Emily Leven, nous proposons de nouveaux opérateurs $E_{k,n},$ qui eux permettent cette généralisation (donc sans la condition de coprimalité). Nous avons même des opérateurs encore plus généraux, les $E_{k,n}^{(\alpha)},$ pour chaque composition $\alpha$ du $\mathrm{PGCD}(k,n),$ qui fournissent une généralisation commune à la fois pour la conjecture HMZ conjecture la conjecture « Shuffle » rationnelle. C’est la

Conjecture « Shuffle » rationnelle compositionnelle (voir notre article B.-Garsia-Leven-Xin)

Pour tout entiers positifs $k$ et $n,$ et $\alpha$ composition de $\mathrm{PGCD}(k,n),$

$$\displaystyle E_{k,n}^{(\alpha)}\cdot 1=\sum_{\mathrm{ret}(\pi)=c\alpha}t^{\mathrm{area}(\pi)}q^{\mathrm{dinv}(\pi)}\,S_{\mathrm{co}(\pi)}(\mathbf{x}),$$

où $c=n/\mathrm{PGCD}(k,n),$ et $c\alpha=(ca_1,ca_2,\ldots,ca_\ell)$. La somme a lieu sur l’ensemble des fonctions parking dont le chemin sous-jacent reviens à la diagonale  aux positions spécifiées par $c\alpha.$

Toutes les conjectures précédentes découlent de cette dernière. En effet on a l’identité entre opérateurs $E_{k,n}=\sum_{\alpha}E_{k,n}^{(\alpha)}$. De plus $E_{k,n}=P_{k,n}$ lorsque $k$ et $n$ sont copremiers. De plus, on a

$$E_{k+n,n}^{(\alpha)}=\nabla\, E_{k,n}^{(\alpha)}\,\nabla^{-1},$$

et $E_{0,n}^{(\alpha)}\cdot 1=C_\alpha\cdot 1$.

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