Algèbre de Descentes

Cette histoire débute avec l’article de Louis Solomon

dans lequel il prouve que l’espace vectoriel engendré par les sommes

$$y_T:=\sum_{{\mathrm{Des}}(w)=T}\ w,\qquad {\rm with}\qquad T\subseteq S,$$

forme une sous-algèbre de l’algèbre de groupe d’un groupe de Coxeter $W,$ ayant comme générateurs l’ensemble $S$. Ici, ${\mathrm{Des}}(w)$ dénote l’ensemble de descentes de $w\in W,$ ce qui signifie que

 ${\mathrm{Des}}(w):=\big\{s\in S\ \big|\ \ell(w\,s)<\ell(w) \big\}.$

Il est habituel de dénoter par $\ell(w)$ la longueur d’une expression réduite (minimale) pour $w,$ exprimé comme produit d’éléments de $S.$ L’algèbre ainsi obtenue joue un rôle dans plusieurs contextes intéressants. Dans un appendice à l’article de Solomon, Jacques Tits donne un interprétation géométrique aux résultats de Solomon.

Une algèbre intimement reliée est l’algèbre de mélange. Elle est obtenue en applicant l’anti-endomorphisme de l’algèbre de groupe qui étend l’inversion. Les propriétés de cette dernière algèbre ont été exploitées par Persi Diaconis dans son étude du mélange de cartes.

Quelques articles sur les algèbres de descentes et sujets reliés