Investigación

Mi investigación consiste en el estudio de las interacciones entre las estructuras algebraicas (espacios de polinomios armónicos diagonales, representaciones de grupos de reflexión, etc.) y objetos combinatorios (árboles, partitiones, permutaciones, estructuras de Catalan, funciones de aparcamiento, etc.). Estas interacciones dan lugar a varias identidades, a menudo expresados en términos de funciones generadoras o funciones simétricas (funciones de Schur, polinomios de Macdonald, etc.). En el centro de todo esto se encuentra el estudio de la estructura del espacio diagonal coinvariant  (en dos conjuntos de $ n $ variables). He ampliado ese estudio al caso de varios conjuntos de $ n $ variables. En particular, el caso de tres conjuntos de variables está vinculada con el estudio de intervalos decoradas de una $m$-vesción de la red de Tamari (associahedron).

Tamari42_dec

Descomposición de la red 2-Tamari con $n=4$

Todo esto se encuentra en la intersección de la combinatoria, de la teoría de la representación, y de la geometría algebraica; con lazos naturales a la física teórica y la informática teórica. En general, hago uso extensivo de álgebra computacional en mi investigación, para explorar las propiedades de intrincadas estructuras algebraicas.

Más recientemente, he colaborado con Adriano Garsia, Mark Haiman y otros en los aspectos algebraicos y combinatorias del estudio de $ (k, n) $ – funciones de aparcamiento. En este contexto general, tenemos una conjetura “shuffle” generalizada. Esta es una continuación (con varios nuevos giros) de nuestro estudio de larga data de los aspectos combinatorios de Diagonal armónicas polinomios del grupo simétrico. Eigenoperadores de MacDonald (es decir los que tienen polinomios de Macdonald como funciones propias) son buenas herramientas para el estudio de muchas identidades que involucran polinomios Macdonald. Entre estos operadores, el operador $\nabla $ (que presenté en 1991 y luego estudió con Adriano Garsia, Mark Haiman, y otros) juega un papel particularmente importante.

En una colaboración con Nantel Bergeron, Adriano Garsia, y Christophe Reutenauer, que se inició en la década de los 90, estudiamos la estructura de las “descent” álgebras de grupos de Coxeter finitos. Hay muchas aplicaciones interesante de los resultados obtenidos. 

En colaboración con otros miembros de Lacim (principalmente Pierre Leroux y Gilbert Labelle), he contribuido en el 80-90 al desarrollo original de la teoría de las especies (introducidas por André Joyal). Ver a mis publicaciones para una introducción a la teoría de Especie combinatorias.

Mi colaboración con Simon Plouffe ha contribuido a la aparición de herramientas como gfun (en Maple).

Para otros aspectos de mi investigación del pasado, mirar consultar MathSciNet, mi Citas de Google Scholar, o mi página de publicación.